Question

已知函数.()
（1）当时，试确定函数在其定义域内的单调性；
（2）求函数在上的最小值；
（3）试证明：.

Answer 1

（1）当时，，，
则，                1分
∵当时，，当时，
∴函数在上单调递减，在上单调递增。         3分
（2）∵，
①当时，∵，∴
函数在上单调递减，∴           5分
②当时，令得
当即时，对，有；即函数在上单调递减；
对，有，即函数在上单调递增；
∴；            7分
当即时，对有，即函数在上单调递减；
∴；               8分
综上得            9分
（3）注意，
令，（）则，
∴要证只需证（），

试题分析：（1）当时，，，
则，                1分
∵当时，，当时，
∴函数在上单调递减，在上单调递增。         3分
（2）∵，
①当时，∵，∴
函数在上单调递减，∴           5分
②当时，令得
当即时，对，有；即函数在上单调递减；
对，有，即函数在上单调递增；
∴；            7分
当即时，对有，即函数在上单调递减；
∴；               8分
综上得            9分
（3），          10分
令，（）则，
∴要证只需证（），        12分
由（1）知当时，
∴，即，         13分
∵，∴上式取不到等号
即，∴.               14分
点评：典型题，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，是导数的应用中的基本问题。本题（III）应用分析法证明不等式，通过构造函数，确定函数的最值，使问题得解。本题总体难度较大。