Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调增区间；

（2）函数，当时，恒成立，求整数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）单调增区间是；单调减区间是（2）2

【解析】

（1）利用的导函数求得的单调增区间.

（2）解法一：将不等式分离常数，得到，构造函数，利用导数求得的最大值，由此求得的取值范围，进而求得的最小值.

解法二：将不等式分离常数，得到，构造函数，对分成、两种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.

（1）因为，

由于时，由得，

所以函数的单调增区间是；单调减区间是；

（2）解法一：因为，即，因为，

所以，令，

所以，

设，

则，

所以且时，，

故在上是增函数，

因为，

当时，

.

所以存在使，

所以当时，即，

当时，即，

所以在上增函数，上是减函数，

故有最大值为

，

因为，，所以，

故，即整数的最小值为2.

解法二：因为，即，因为，

所以，令，

（i）当时，因为，所以，

因此，所以只需；

（ii）当时，因为，则，

所以，

因此只需，即，

构造函数，

，

当时，在上单调递减，；

当时，，

则，不满足题意；

当时，，

则，故不满足题意；

综上可知，整数的最小值为2.