Question

已知无穷数列中，、 、、构成首项为2，公差为－2的等差数列，、、、，构成首项为，公比为的等比数列，其中，.
（1）当，，时，求数列的通项公式；
（2）若对任意的，都有成立．
①当时，求的值；
②记数列的前项和为．判断是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）数列的通项公式为；
（2）①的值为或；②详见解析.

试题分析：（1）根据数列的定义求出当时数列的通项公式，注意根据的取值利用分段数列的形式表示数列的通项；（2）①先确定是等差数列部分还是等比数列部分中的项，然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出的值；②在（1）的基础上，先将数列的前项和求出，然后利用周期性即可求出，构造，利用定义法求出的最大值，从而确定和的最大值，进而可以确定是否存在，使得.
试题解析：（1）当时，由题意得，                  2分
当时，由题意得，                    4分
故数列的通项公式为                5分
（2）①因为无解，所以必不在等差数列内，
因为，所以必在等比数列内，且等比数列部分至少有项，
则数列的一个周期至少有项，                           7分
所以第项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内，
若时，则，得，
若，则，得，
故的值为或                                 9分
②因为，，
所以，               12分
记，则，
因为，所以，即，           14分
故时，取最大，最大值为，
从而的最大值为，不可能有成立，故不存在满足条件的实数     16分项和、数列的周期性、数列的单调性