Question

已知tanα=

3

4

，  cos(α+β)=-

12

13

，且α

，

β∈(0

，

π

2

)．
（1）求

2cos2 α 2 -sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

的值； （2）求cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）先化简

2cos2 α 2 -sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

，得到用正切表达的代数式，再代入tanα=

3

4

求出值；
（2）由于β=α+β-α，故可先求出α与α+β的正余弦值，再用余弦的差角公式将cosβ用α与α+β的正余弦值表示出来，然后求值；

解答：解  （1）∵tanα=

3

4

，
∴

2cos2 α 2 -sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

=

cosα-sinα

cosα+sinα

=

1-tanα

1+tanα

=

1

7

（2）∵α，β∈（0，

π

2

) ，tanα=

3

4

，  cos(α+β)=-

12

13

∴cosα=

4

5

 ，又sin（α+β）=

5

13

则cosβ=cos[（α+β）-α]
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-

12

13

×

4

5

+

5

13

×

3

5

=-

33

65

点评：本题考查考查三角函数的化简求值，解题的关键是对三角函数的解析式化简，利用余弦的二倍角公式与正弦的和角公式进行变形，再由同角三角函数基本关系将代数式用正切表示出来，本题第二小题用到了角的变换，角的变换是探究已知与未知角的关系常用的方法