Question

集合X={x|x=2n-1，n∈Z}，Y={y|y=4k±1，k∈Z}，试证明X=Y。

Answer 1

证明：(1)设x₀∈X，则x₀=2n₀-1，n₀∈Z，
①若n₀是偶数，可设n₀=2m，m∈Z，
则x₀=4m-1，∴x₀∈y；
②若n₀是奇数，可设n₀=2m-1，m∈Z，
则x₀=2(2m-1)-1=4m-3=4(m-1)+1，x₀∈Y，
∴不论n₀是偶数还是奇数，都有x₀∈Y，
∴XY；
(2)又设y₀∈Y，则y₀=4k₀+1或y₀=4k₀-1，
∵y₀=4k₀+1=2(2k₀+1)-1，y₀=4k₀-1=2(2k₀)-1，
而2k₀+1∈Z，2k₀∈Z，
∴y₀∈X，
∴YX；
由(1)(2)可知，X=Y。