Question

8．若数列{a_n}满足条件：存在正整数k，使得$\frac{{a}_{n}+k}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-k}}$对一切n∈N^*，n＞k都成立，则称数列{a_n}为k级等比数列．
（1）若a_n=2ⁿsin（ωn+$\frac{π}{6}$）（ω为常数），且{a_n}是3级等比数列，求ω所有可能值的集合；
（2）若正项数列{a_n}既为2级等比数列，也为3级等比数列，证明：{a_n}为等比数列．

Answer 1

分析 （1）运用3级等比数列的概念，结合三角函数的化简，即可得到所求；
（2）由新定义，可得{a_n}为2级等比数列，即有$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-2}}$，则{a_2n-1}，{a_2n}均成等比数列，
设等比数列{a_2n-1}，{a_2n}的公比分别为q₁，q₂（q₁q₂≠0），{a_n}为3级等比数列，即有$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-3}}$，
则{a_3n-2}成等比数列，设公比为Q（Q≠0）．再由a₁，a₇；a₄，a₁₀为等比数列中的项，运用等比数列的通项公式可得q₁，q₂相等，再由等比数列的定义，即可得证．

解答 解：（1）{a_n}是3级等比数列，即有$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-3}}$，
[2ⁿsin（ωn+$\frac{π}{6}$）]²=2^n-3sin[（ωn+$\frac{π}{6}$）-3ω]2ⁿ⁺³sin[（ωn+$\frac{π}{6}$）+3ω]，
sin²（ωn+$\frac{π}{6}$）=sin[（ωn+$\frac{π}{6}$）-3ω]sin[（ωn+$\frac{π}{6}$）+3ω]
=sin²（ωn+$\frac{π}{6}$）cos²3ω-cos²（ωn+$\frac{π}{6}$）sin²3ω
=sin²（ωn+$\frac{π}{6}$）（1-sin²3ω）-[1-sin²（ωn+$\frac{π}{6}$）]sin²3ω
=sin²（ωn+$\frac{π}{6}$）-sin²3ω，
∴sin²3ω=0，3ω=kπ（k∈Z），∴ω=$\frac{kπ}{3}$ （k∈Z），
∴ω∈{ω|ω=$\frac{kπ}{3}$，k∈Z}．
（2）若{a_n}为2级等比数列，$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-2}}$，
则{a_2n-1}，{a_2n}均成等比数列，
设等比数列{a_2n-1}，{a_2n}的公比分别为q₁，q₂（q₁q₂≠0），
{a_n}为3级等比数列，$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-3}}$，
则{a_3n-2}成等比数列，设公比为Q（Q≠0）．
a₁，a₇既是{a_2n-1}中的项，也是{a_3n-2}中的项，$\frac{{a}_{7}}{{a}_{1}}$=q₁³=Q²，
a₄，a₁₀既是{a_2n}中的项，也是{a_3n-2}中的项，$\frac{{a}_{10}}{{a}_{4}}$=q₂³=Q²，
${q}_{1}^{3}$=${q}_{2}^{3}$=Q²，∴q₁=q₂．
设q₁=q₂=q²（q≠0），则Q=q³，
所以a_2n-1=a₁q^n-1=a₁q^2n-2（n∈N^*），
a_2n=a₂q₂^n-1=a₂q^2n-2（n∈N^*），
又a₄=a₁Q=a₁q³，a₄=a₂q₂=a₂q²，
所以a₂=a₁q，
a_2n=a₁q^2n-1（n∈N^*），
所以，a_2n-1=a₁q^2n-2，a_2n=a₁q^2n-1（n∈N^*），
综合得：a_n=a₁q^n-1（n∈N^*），显然{a_n}为等比数列．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查三角函数的化简，同时考查等比数列的通项公式和性质，以及推理能力，有一定的难度．