Question

18．如图，为了开发某森林区，某测量人员身处这个森林区一条河的南岸，为了测量河对岸不能到达的两点A，B之间的距离，同时由于树木的遮挡，不可能分别在两个不同地点同时观察到点A，B；但她在南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；已知A，B，C，D，E在同一水平面内并测量得到数据：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1（km）．
（I）求AB之间的距离；
（Ⅱ）若计划由A向B建一条直线公路，再由点C处向公路AB建一条空中滑索，求滑索的最短长度．

Answer 1

分析 （I）求出AC，通过正弦定理求出BC，然后利用余弦定理求出AB；
（Ⅱ）利用等面积，求滑索的最短长度．

解答 解：依题意知，在RT△ACD中，AC=DCtan∠ADC=$\sqrt{3}$
在△BCE中，∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°
由正弦定理得BC=$\frac{CE}{sin∠CBE}•sin∠CEB$=$\sqrt{2}$
∵cos15°=cos（60°-45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
在△ABC中，由余弦定理AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB=3+2-2•$\sqrt{3}$•$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=2-$\sqrt{3}$
∴AB=$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$（km）；
（Ⅱ）设滑索的最短长度是d，则由等面积可得$\frac{1}{2}•\sqrt{3}•\sqrt{2}•$$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$d，
∴d=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查三角形的面积的求法，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．