Question

（2007•烟台三模）已知R上的函数f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx（a＜b＜c），在x=1时取得极值，且y=f（x）的图象上有一点处的切线斜率为-a．
（1）证明：0≤

b

a

＜1；
（2）若f（x）在区间（s，t）上为增函数，证明：1≥t＞s＞-2且t-s＜3；
（3）对任意满足以上条件的a，b，c，若不等式f′（x）+a＜0对任意x≥k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数在x=1时取得极值，a＜b＜c，结合关于x的方程f′（x）=-a有根，即可得出结论；
（2）程f′（x）=ax²+bx-（a+b）=0的两根为1和-

b

a

-1，当且仅当-

b

a

-1＜x＜1时，f′（x）＞0，可得f（x）在[-

b

a

-1，1]上为增函数，即可得出结论；
（3）若f′（x）+a=ax²+bx-b=a（x2+

b

a

x-

b

a

）＜0对a、b恒成立，换元，变换主元，即可得出结论．

解答：（1）证明：求导函数，可得f′（x）=ax²+bx+c，
∵函数在x=1时取得极值，
∴a+b+c=0，
∵函数在x=1时取得极值，
∵a＜b＜c，
∴a＜b＜-（a+b），
∴-

1

2

＜

b

a

＜1
∵切线斜率为-a，则关于x的方程f′（x）=-a有根，
即ax²+bx-b=0有根，
∴b²+4ab=b（4a+b）≥0
∴

b

a

≤-4或

b

a

≥0
∵-

1

2

＜

b

a

＜1
∴0≤

b

a

＜1；
（2）证明：方程f′（x）=ax²+bx-（a+b）=0
∴b²+4a（a+b）＞0
∵f′（1）=0
∴方程f′（x）=ax²+bx-（a+b）=0的两根为1和-

b

a

-1
当且仅当-

b

a

-1＜x＜1时，f′（x）＞0
∴f（x）在[-

b

a

-1，1]上为增函数，
∴1≥t＞s≥-

b

a

-1＞-2且0＜t-s≤

b

a

+2＜3；
（3）解：若f′（x）+a=ax²+bx-b=a（x2+

b

a

x-

b

a

）＜0对a、b恒成立，
设t=

b

a

∈[0，1），则g（t）=（x-1）t+x²＞0对t∈[0，1）恒成立，
即g（1）≥0，g（0）＞0恒成立 
解得x≤

-1- 5

2

或x≥

-1+ 5

2

，
∴k≥

-1+ 5

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．