Question

（2007•烟台三模）一个多面体的直观图（正视图、侧视图，俯视图）如图所示，M，N分别为A₁B，B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求证：MN⊥平面A₁BC；
（3）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer 1

分析：（1）先根据题中的三视图得到AC⊥BC，AC=BC=CC₁，然后连接AC₁和AB₁，再由直三棱柱的性质得到四边形ABB₁A₁为矩形，再由中位线定理可得到MN∥AC₁，最后根据线面平行的判定定理可证明MN∥平面ACC₁A₁．
（2）先根据线面垂直的性质定理可得到BC⊥AC₁，再根据A₁C⊥AC₁，根据线面垂直的判定定理得到AC₁⊥平面A₁BC，最后根据MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC，从而得证．
（3）先过点C作CD⊥AB与D．再过点D作DE⊥A₁B，可得∠CED即为所求二面角的平面角，然后通过求边长求出角的度数即可．

解答：解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁；
（1）连接AC₁，AB₁，由直三棱柱的性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁；
所以AA₁⊥A₁B₁，则四边形ABB₁A₁为矩形，
由矩形的性质得AB₁过A₁B的中点M．
在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN∥AC₁，
又AC₁?ACC₁A₁，MN?ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁．
（2）因为BC⊥平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，
所以BC⊥AC₁，
在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁，
又BC∩A₁C=C，
所以AC₁⊥平面A₁BC，
由MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC．
（3）过点C作CD⊥AB与D．再过点D作DE⊥A₁B，
连接CE，
∵AC=BC；
∴CD⊥AB由其为直棱柱⇒CD⊥平面ABB₁A₁；
则∠CED即为所求二面角的平面角．
又CD=

1

2

AB=

2

2

a，tan∠ABA₁=

DE

DB

=

AA 1

A1B

⇒

DE

2 2 a

=

a

3 a

⇒DE=

6

6

a，
∴tan∠CED=

CD

DE

=

3

，即∠CED=60°，
故二面角A-A₁B-为60°．

点评：本题主要考查中位线定理、线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对立体几何基本定理的综合应用和空间想象能力．