Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，AA₁=6，点E、F分别在棱BB₁、CC₁上，且BE＝BB_1­，C₁F＝CC₁.

（1）求异面直线AE与A₁ F所成角的大小；
（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

（1）60º.（2）

试题分析：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则

,,,，从而
,.                2分
记与的夹角为，则有
.
又由异面直线与所成角的范围为，可得异面直线与所成的角为60º.       4分
（2）记平面和平面的法向量分别为n和m，则由题设可令，且有平面的法向量为, ,.
由，得；由，得.
所以，即.                                  8分
记平面与平面所成的角为，有.
由题意可知为锐角，所以.                              10分
点评：对于角的求解，一般先左后证，三解答，异面直线的所成的角一般平移法得到，对于二面角的求解，通常运用向量法，合理的建系是关键，属于基础题。