Question

过抛物线x²=4y的焦点F作相互垂直的两条弦AB和CD，则|AB|+|CD|的最小值是（　　）

• A．8

  5

• B．16
• C．8
• D．7

Answer 1

分析：先求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程及交点坐标，利用韦达定理求过抛物线焦点的弦长；再根据直线AB与CD垂直，求得弦长|CD|，利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：抛物线的焦点坐标是（0，1），设直线AB的方程：x=m（y-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

x=m(y-1) x2=4y

⇒m²y²-2m²y-4y+m²=0⇒y₁+y₂=

2m2+4

m2

，
∵|AB|=y₁+y₂+P=

2m2+4

m2

+2=4+

4

m2

；
同理|CD|=4+4m²．
∴|AB|+|CD|=8+

4

m2

+4m²≥8+2×4=16，当且仅当m=±1时取“=”
故选B

点评：本题考查抛物线的性质及过焦点弦问题．巧妙的利用韦达定理根与系数的关系设而不求是解答本题的关键．