Question

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（I）若

AP

=λ

PB

(λ∈R)，证明：λ=-

x1

x2

；
（II）在（I）条件下，若点Q是点P关于原点对称点，证明：

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)；
（III）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

Answer 1

分析：（I）利用向量相等

AP

=λ

PB

(λ∈R)，即可证明；
（II）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程，得到根与系数的关系，点Q是点P关于原点的称点，故点Q（0，-m），从而

QP

=(0，2m)，进而得到

QA

-λ

QB

，利用根与系数的关系及其数量积运算即可得出

QP

•(

QA

-λ

QB

)=0即可证明

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)．
（III）直线AB的方程与抛物线方程联立即可解得点A，B的坐标，利用导数即可切线的斜率，再利用圆的切线的性质及圆的标准方程即可解得．

解答：解：（I）∵

AP

=λ

PB

(λ∈R)，∴-x₁=λx₂，（x₂≠0），即λ=-

x1

x2

．
（II）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，
代入抛物线方程x²=4y得x²-4kx-4m=0 ①
∵直线与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
∴x₁x₂=-4m．
点Q是点P关于原点的称点，
故点Q（0，-m），从而

QP

=(0，2m)，
∴

QA

-λ

QB

=（x₁，y₁+m）-λ（x₂，y₂+m）=（x₁-λx₂，y₁-λy₂+（1-λ）m），
∴

QP

•(

QA

-λ

QB

)=2m[y₁-λy₂+（1-λ）m]=2m[

x 2 1

4

+

x1

x2

•

x 2 2

4

+(1+

x1

x2

)m]=2m[

x 2 1

4

-m+m+

mx1

x2

]=2mx1•

x1x2+4m

4x2

=0
∴

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)．
（III）由

x-2y+12=0 x2=4y

得点A、B坐标分别是（6，9）、（-4，4），
由x²=4y得y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
所以抛物线x²=4y在点A处切线的斜率为y′|_x=6=3．
设圆C的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²
则

b-9 a-b =- 1 3 (a-6)2+(b-9)2=(a+4)2+(b-4)2

，
解之得a=-

3

2

，b=

23

2

，r2=(a+4)2+(b-4)2=

125

2

，
即x²+y²+3x-23y+72=0．

点评：本题综合考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线与圆及抛物线相切问题、利用导数的几何意义得到切线的斜率、斜率的计算公式、切线的性质等解出知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力．