Question

如图，几何体A₁C₁-ABC中，四边形AA₁C₁C为平行四边形，且面AA₁C₁C⊥面ABCAA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O是AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线BC₁与底面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由AA₁=A₁C=AC，知△AA₁C是等边三角形，由O是AC中点，知A₁O⊥AC，由此能够证明A₁O⊥面ABC．
（2）作C₁E⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BE，则C₁E∥A₁O，从而得到C₁E⊥面ABC，∠C₁BE就是直线BC₁与底面ABC所成角．由此能求出直线BC₁与底面ABC所成角的正弦值．

解答：（1）证明：∵AA₁=A₁C=AC，∴△AA₁C是等边三角形，
∵O是AC中点，∴A₁O⊥AC，
∵AC是面AA₁C₁C和面ABC的交线，且面AA₁C₁C⊥面ABC，
又∵A₁O?面AA₁C₁C，
∴A₁O⊥面ABC．
（2）解：作C₁E⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BE，
则C₁E∥A₁O，∴C₁E⊥面ABC，
∴∠C₁BE就是直线BC₁与底面ABC所成角．
∵四边形AA₁C₁C为平行四边形，且面AA₁C₁C⊥面ABC，
AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O是AC中点．
∴C₁E=A₁O=

3

，AB=BC=

2

，
∴C₁O=

22+( 3 )2

=

7

，BO=1，
∴BC₁=

( 7 )2+1

=2

2

，
∴sin∠C₁BE=

C1E

BC1

=

2

2 2

=

1

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．