题目内容
三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，A1A=| 3 |
| 2 |
| BD |
| DC |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求二面角A-CC1-B的大小．
分析：（Ⅰ）欲证平面A1AD⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCC1B1内一直线与平面A1AD垂直，根据线面垂直的性质可知A1A⊥BC，AD⊥BC，又A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AD，而BC?平面BCC1B1，满足定理所需条件；
（Ⅱ）作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE，由三垂线定理知BE⊥CC1，从而∠AEB为二面角A-CC1-B的平面角，过C1作C1F⊥AC交AC于F点，在Rt△BAE中，求出二面角A-CC1-B的平面角即可．
（Ⅱ）作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE，由三垂线定理知BE⊥CC1，从而∠AEB为二面角A-CC1-B的平面角，过C1作C1F⊥AC交AC于F点，在Rt△BAE中，求出二面角A-CC1-B的平面角即可．
解答：
证明：（Ⅰ）∵A1A⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A1A⊥BC．在Rt△ABC中，AB=
，AC=2，∴BC=
，
∵BD：DC=1：2，∴BD=
，又
=
=
，
∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．
又A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AD，∵BC?平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1．
（Ⅱ）如图，作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE，
由已知得AB⊥平面ACC1A1．∴AE是BE在面ACC1A1内的射影．
由三垂线定理知BE⊥CC1，∴∠AEB为二面角A-CC1-B的平面角．
过C1作C1F⊥AC交AC于F点，
则CF=AC-AF=1，C1F=A1A=
，∴∠C1CF=60°．
在Rt△AEC中，AE=ACsin60°=2×
=
．
在Rt△BAE中，tanAEB=
=
=
．∴∠AEB=arctan
，
即二面角A-CC1-B为arctan
．
证明：（Ⅰ）∵A1A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1A⊥BC．在Rt△ABC中，AB=
| 2 |
| 6 |
∵BD：DC=1：2，∴BD=
| ||
| 3 |
| BD |
| AB |
| ||
| 3 |
| AB |
| BC |
∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．
又A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AD，∵BC?平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1．
（Ⅱ）如图，作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE，
由已知得AB⊥平面ACC1A1．∴AE是BE在面ACC1A1内的射影．
由三垂线定理知BE⊥CC1，∴∠AEB为二面角A-CC1-B的平面角．
过C1作C1F⊥AC交AC于F点，
则CF=AC-AF=1，C1F=A1A=
| 3 |
在Rt△AEC中，AE=ACsin60°=2×
| ||
| 2 |
| 3 |
在Rt△BAE中，tanAEB=
| AB |
| AE |
| ||
|
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
即二面角A-CC1-B为arctan
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．
练习册系列答案
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,AB=
,AC=2,A1C1=1,
=
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三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，
，
，AC=2，A1C1=1，
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三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，
，
，AC=2，A1C1=1，
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