Question

（2012•宝鸡模拟）在如图所示的几何体中，四边形ACC₁A₁是矩形，FC₁∥BC，EF∥A₁C₁，∠BCC₁=90°，点A、B、E、A₁在一个平面内，AB=BC=CC₁=2，AC=2

2

．
（1）证明：A₁E∥AB；
（2）若A₁E=C₁F=1，求平面BEF与平面ABC所成夹角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由已知，可得A₁C₁∥平面ABC，FC₁∥平面ABC，可由面面平行的判定定理可得平面A₁EFC₁∥平面ABC，进而由面面平行的性质定理可得A₁E∥AB；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF与平面ABC的法向量，利用向量法求出两面角的余弦值，进而根据同角三角函数关系求出答案．

解答：证明：（1）∵四边形ACC₁A₁是矩形，
∴AC∥A₁C₁，AC?平面ABC
∴A₁C₁∥平面ABC
∵FC₁∥BC，BC?平面ABC
∴FC₁∥平面ABC
∵A₁C₁，FC₁?平面A₁EFC₁，且A₁C₁∩FC₁=C₁，
∴平面A₁EFC₁∥平面ABC
又∵平面ABEA₁现平面A₁EFC₁，平面ABC交线分别为平面A₁E、AB
∴A₁E∥AB；…6分
解：（2）∵四边形ACC₁A₁是矩形，
∴AA₁∥CC₁，
又∵∠BCC₁=90°，即CC₁⊥BC₁，
∴AA₁⊥BC
∵AB=BC=2，AC=2

2

∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，即BC⊥AB
又∵AB、AA₁?平面ABEA₁，
∴BC⊥平面ABEA₁，而BC?平面CC₁FB
∴平面CC₁FB⊥平面ABEA₁，
∵AA₁⊥AC，AA₁⊥BC
∴AA₁⊥平面ABC，CC₁⊥平面ABC…8分
如图建立空间直角坐标系，
则

CC1

=（0，0，2）为平面ABC的一个法向量，…9分
设平面BEF的法向量

n

=（x，y，z）
∵A₁E=C₁F=1，
∴E（1，0，2），F（0，1，2）
∴

BE

=（1，0，2），

BF

=（0，1，2）
则

n • BE =0 n • BF =0

，即

x+2z=0 y+2z=0

令x=2，则

n

=（2，2，-1）即为平面BEF的法向量…10分
设平面BEF与平面ABC所成夹角为θ
则cosθ=

| n • CC1 |

| n |•| CC1 |

=

1

3

…11分
则sinθ=

2 2

3

，tanθ=2

2

…12分

点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面平等的判定及性质，向量法求二面角，其中（1）中关键是熟练掌握面面平行，线面平面与线线平行之间的相互转化，（2）的关键是建立空间坐标系，将问题转化为空间向量问题．