Question

20．已知函数f（x）二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求解析式f（x）；
（2）讨论f（x）在[0，a]上的值域．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数的一般形式后，代入f（x+1）-f（x）=2x，化简后根据多项式相等，各系数相等即可求出a，b及c的值，即可确定出f（x）的解析式；
（2）由（1）中函数的解析式，通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调性，进而求出最值，得到y=f（x）的值域即可．

解答 解：（1）令f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x，
2ax+a+b=2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-1；
又∵f（0）=c=1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）由（1）得：
f（x）的对称轴是x=$\frac{1}{2}$，
①当0＜a≤$\frac{1}{2}$时：f（x）在[0，a]递减，
f（x）_min=f（a）=a²-a+1，f（x）_max=f（0）=1，
函数的值域是[a²-a+1，1]；
②当$\frac{1}{2}$＜a≤1时：f（x）在[0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，a]递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（1）=1，
函数的值域是[$\frac{3}{4}$，1]；
③当a＞1时：f（x）在[0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，a]递增，
f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（a）=a²-a+1，
函数的值域是[$\frac{3}{4}$，a²-a+1]．

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法，及二次函数在闭区间上的最值，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤及二次函数的图象和性质是解答的关键．