题目内容

（1）已知| $数学公式$ |=4，| $数学公式$ |=3，（2 $数学公式$ -3 $数学公式$ ）•（2 $数学公式$ + $数学公式$ ）=61，求 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角θ；
（2）设 $数学公式$ =（2，5）， $数学公式$ =（3，1）， $数学公式$ =（6，3），在 $数学公式$ 上是否存在点M，使 $数学公式$ ，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）∵（2 $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ ）•（2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=61
∴ $\text{[math]}$
又∵| $\text{[math]}$ |=4，| $\text{[math]}$ |=3
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-6．…3分
∴ $\text{[math]}$
∴θ=120°．…6分
（2）设存在点M，且 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．…8分
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴（2-6λ）（3-6λ）+（5-3λ）（1-3λ）=0，…10分
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴存在M（2，1）或 $\text{[math]}$ 满足题意．…16分．
分析：（1）根据（2 $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ ）•（2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=61求出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-6然后再利用向量的夹角公式cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ 再结合＜ $\text{[math]}$ ＞∈[0，π]即可求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角θ．
（2）假设存在点M符合题意则可设 $\text{[math]}$ 即M（6λ，3λ）从而求出 $\text{[math]}$ 再根据 $\text{[math]}$ 利用向量数量积的坐标计算再结合0＜λ≤1即可求出λ进而求出点M．
点评：本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易．解题的关键是熟记向量的夹角公式cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ 同时要注意＜ $\text{[math]}$ ＞∈[0，π]这一隐含条件以及 $\text{[math]}$ 的等价条件 $\text{[math]}$ !