Question

已知直线C₁：

x= 4 5 t y= 3 5 t

（t为参数），曲线C₂：ρ+

1

ρ

=2

2

sin（θ+

π

4

）．
（1）求直线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求直线C₁被曲线C₂所截的弦长．

Answer 1

考点：点的极坐标和直角坐标的互化,直线与圆的位置关系,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把直线的参数方程两式作比消掉t即可得到直线的直角坐标方程；展开两角和的正弦，两边同时乘以ρ后代入ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（2）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理得答案．

解答： 解：（1）由

x= 4 5 t y= 3 5 t

，得3x-4y=0．
由ρ+

1

ρ

=2

2

sin（θ+

π

4

），
得ρ+

1

ρ

=2

2

(sinθcos

π

4

+cosθsin

π

4

)=2sinθ+2cosθ．
即ρ²+1=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴x²-2x+y²-2y+1=0；
（2）由x²-2x+y²-2y+1=0，
得（x-1）²+（y-1）²=1．
∴曲线C₂是以（1，1）为圆心，以1为半径的圆．
圆心到直线3x-4y=0的距离为

|3×1-4×1|

32+(-4)2

=

1

5

．
∴直线C₁被曲线C₂所截的弦长为2

12-( 1 5 )2

=

4 6

5

．

点评：本题考查了参数方程化直角坐标方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，训练了直线和圆的位置关系，是基础题．