Question

【题目】已知函数.

(1)若对恒成立，求实数的取值范围；

(2)已知关于的方程有两个实根，求证： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析:（1）由得，求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号，进而确定单调性，即得最小值，最后利用导数得最小值函数单调性，确定最小值大于零恒成立（2）先根据零点条件解得，根据零点存在条件得范围，再化简不等式，构造函数，利用导数确定函数单调性，求得最小值，即证得不等式

试题解析：(1)∵，

∴当时， ，不符合题意，

当时， ，此时递增，

，此时递减，

∴，

而是增函数， ，∴.

(2)设，即有两个零点，

∵，

∴当时， ，则递减，至多1个零点，不符合题意，

当时， ，此时递增；

，此时递减；

∴，解得；

此时，又，∴，不妨设，

由，两式相减得，

则，

设，则，下证；

设，则，

∴在上递增，那么，

所以，从而，

又∵，∴，故.