Question

如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B(x_B，y_B)，设∠BAO＝β.

(1)用β表示α；
(2)如果 sin β＝，求点B(x_B，y_B)坐标；
(3)求x_B－y_B的最小值．

Answer 1

（1）α＝－2β.
（2）
（3）－

解：(1)因为∠AOB＝α－＝π－2β.
所以α＝－2β.
(2)由 sin α＝，r＝1，
得y_B＝sin α＝sin＝－cos 2β
＝2 sin²β－1＝2ײ－1＝.
由 α为钝角，知
x_B＝cos  α＝－＝－.
所以B.
(3)法一：x_B－y_B＝cos  α－sin  α
＝cos.
又α ∈，则α＋∈，
cosα＋∈.
所以x_B－y_B的最小值为－.
法二：因为α为钝角，所以x_B<0，y_B>0，
x _B²＋y_B²＝1，x_B－y_B＝－(－x_B＋y_B)，(－x_B＋y_B)²≤2(x_B²＋y_B²)＝2，
所以x_B－y_B≥－.
所以x_B－y_B的最小值为－.