Question

（ 14分）已知函数，，其中为无理数．（1）若，求证：；（2）若在其定义域内是单调函数，求的取值范围；（3）对于区间（1，2）中的任意常数，是否存在使成立？
若存在，求出符合条件的一个；否则，说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ)   （Ⅲ）不存在

：（Ⅰ）证明：当时，．令，则．
若，递增；若，递减，
则是的极（最）大值点．于是
，即．故当时，有．
（Ⅱ）解：对求导，得．
①若，，则在上单调递减，故合题意．
②若，．
则必须，故当时，在上单调递增．
③若，的对称轴，则必须，
故当时，在上单调递减．
综合上述，的取值范围是．
（Ⅲ）解：令．则问题等价于
找一个使成立，故只需满足函数的最小值即可．
因，
而，
故当时，，递减；当时，，递增．
于是，．与上述要求相矛盾，故不存在符合条件的．