题目内容
如图，倾斜角为a的直线经过抛物线y2＝8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．
(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
(Ⅱ)若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|－|FP|cos2a为定值，并求此定值．
答案：
解析：
解析：
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(Ⅰ)解：设抛物线的标准方程为 因此焦点 又准线方程的一般式为 从而所求准线l的方程为
(Ⅱ)解法一：如图(21)图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|＝|FC|，|FB|＝|BD|． 记A、B的横坐标分别为xxxz，则 |FA|＝|AC|＝ 类似地有 记直线m与AB的交点为E，则
故 解法二：设 将此式代入 记直线m与AB的交点为 故直线m的方程为 令y＝0，得P的横坐标 从而 |
，则
，从而
的坐标为(2，0)．
．
．
解得
，
，解得
．
所以
．
．
，
，直线AB的斜率为
，则直线方程为
．
，得
，故
．
，则
，
，
．
故
．
为定值．
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