题目内容
如图,倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。
(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
(Ⅱ)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。
(Ⅰ)解:设抛物线的标准方程为,则
,从而
因此焦点的坐标为(2,0).
又准线方程的一般式为。
从而所求准线l的方程为。
(Ⅱ)解法一:如图作AC⊥l,BD⊥l,垂足为C、D,则由抛物线的定义知
|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记A、B的横坐标分别为xxxz,则
|FA|=|AC|=解得
,
类似地有,解得
。
记直线m与AB的交点为E,则
所以
。
故。
解法二:设,
,直线AB的斜率为
,则直线方程为
。
将此式代入,得
,故
。
记直线m与AB的交点为,则
,
,
故直线m的方程为.
令y=0,得P的横坐标故
。
从而为定值。

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