题目内容

如图,倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于AB两点。

(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;

(Ⅱ)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线mx轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。

(Ⅰ)解:设抛物线的标准方程为,则,从而

因此焦点的坐标为(2,0).

又准线方程的一般式为

从而所求准线l的方程为

(Ⅱ)解法一:如图作AClBDl,垂足为CD,则由抛物线的定义知

|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.

AB的横坐标分别为xxxz,则

|FA|=|AC|=解得

类似地有,解得

记直线mAB的交点为E,则

     所以

解法二:设,直线AB的斜率为,则直线方程为

将此式代入,得,故

记直线mAB的交点为,则

故直线m的方程为.

y=0,得P的横坐标

从而为定值。

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