Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段A₁B上的动点，则下列结论错误的是（　　）

• A、DC₁⊥D₁P
• B、平面D₁A₁P⊥平面A₁AP
• C、∠APD₁的最大值为90°
• D、AP+PD₁的最小值为

  2+ 2

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：应用题,空间位置关系与距离

分析：利用DC₁⊥面A₁BCD₁，可得DC₁⊥D₁P，A正确
利用平面D₁A₁BC，⊥平面A₁ABB₁，得出平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，B正确；
当A₁P=

2

2

时，∠APD₁为直角角，当0＜A₁P＜

2

2

时，∠APD₁为钝角，C错；
将面AA₁B与面ABCD₁沿A₁B展成平面图形，线段AD₁即为AP+PD₁的最小值．

解答：解：∵A₁D₁⊥DC₁，A₁B⊥DC₁，∴DC₁⊥面A₁BCD₁，D₁P?面A₁BCD₁，∴DC₁⊥D₁P，A正确
∵平面D₁A₁P即为平面D₁A₁BC，平面A₁AP 即为平面A₁ABB₁，切D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，
∴平面D₁A₁BC，⊥平面A₁ABB₁，∴平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，∴B正确；
 当0＜A₁P＜

2

2

 时，∠APD₁为钝角，∴C错；
将面AA₁B与面A₁BCD₁沿A₁B展成平面图形，线段AD₁即为AP+PD₁的最小值，

在△AA₁D₁中，利用余弦定理解三角形得AD₁=

2+ 2

，∴D正确．
故选：C

点评：本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想．