题目内容

已知{a_n}是各项都为正数的等比数列,数列{b_n}满足b_n=［lga₁+lga₂+lga₃+…+lg(ka_n)］，问是否存在正数k,使得{b_n}成等差数列？若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

解:假设存在正数k,使得{b_n}成等差数列.

设数列{a_n}的公比为q,则a_n=a₁qⁿ-1.

而b_n=［lga₁+lga₂+lga₃+…+lg(ka_n)］

=lg(ka₁·a₂·a₃·…·a_n)

=lg(k·a₁ⁿ·)

=lga₁+(n-1)lg+lg.

∴b_n+1-b_n=(lga₁+nlg+lg)-［lga₁+(n-1)lg+lg］

=lg+lg-lg.

若{b_n}为等差数列,当且仅当lg-lg=0,

即lg=lg,=,

∴k=1.

因此当k=1时,{b_n}成等差数列.

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