题目内容
【题目】如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛，半径为1公里，小岛中心O到岸边AM的最近距离OA为2公里.该市规划开发小岛为旅游景区，拟在圆形小岛区域边界上某点B处新建一个浴场，在海岸上某点C处新建一家五星级酒店，在A处新建一个码头，且使得AB与AC满足垂直且相等，为方便游客，再建一条跨海高速通道OC连接酒店和小岛，设
.
（1）设
，试将
表示成
的函数；
（2）若OC越长，景区的辐射功能越强，问当为何值时OC最长，并求出该最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由正弦定理可得
与
的三角函数的关系；
（2）由（1）得，
的值，又有
，所以由余弦定理可得
的表达式，再由三角函数的有界性求出的最大值．
（1）在三角形
中，由正弦定理：
，
即
，而
，
，所以
，
由题意可得由余弦定理可得
，
所以
，所以
，
所以；
（2）∵，
∴
所以的最大值为．
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