Question

【题目】设复平面上点对应的复数 （为虚数单位）满足，点的轨迹方程为曲线. 双曲线:与曲线有共同焦点，倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线的交点是、，，为坐标原点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）求直线的方程；

（3）设△PQR三个顶点在曲线上，求证：当是△PQR重心时，△PQR的面积是定值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）【方法一】根据椭圆的定义可知，结合，即可求得点的轨迹方程；【方法二】根据复数的性质，化简即可得点的轨迹方程；（2）【方法一】根据双曲线:与曲线有共同焦点，求得双曲线的方程，进而可得双曲线的渐近线方程，设直线的方程为，联立渐近线方程与直线的方程，求得，的坐标，再根据，即可求得直线的方程；【方法二】联立直线的方程与双曲线的方程，结合韦达定理，再根据，即可求得直线的方程；（3）【方法一】设，，由是△PQR重心可得，根据，即可求得定值；【方法二】设、、，则有：，推出，代入到椭圆方程，结合，即可求得定值.

试题解析：（1）【方法一】由题意知，点的轨迹为椭圆.

∵

∴

∴点的轨迹方程为.

【方法二】由题意知，,整理得.

∴点的轨迹方程为

（2）【方法一】∵与有共同焦点

∴，即

∴双曲线的方程为

∴双曲线的渐近线方程

设直线的方程为.

联立方程，得.

，，即直线的方程为.

【方法二】∵与有共同焦点

∴，即.

∴双曲线的方程为

设直线的方程为，联立方程得到.

∴

∴，即直线的方程为.

（3）【方法一】设,.

∵为的重心

（.

不妨设,则.

【方法二】设、、，则有：，代入椭圆方程得：.

所以 .