题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，点
、
分别为双曲线
的左、右焦点，双曲线
的离心率为
，点
在双曲线上，不在
轴上的动点
与动点
关于原点
对称，且四边形
的周长为
.
(1)求动点的轨迹
的方程；
(2)过点
的直线交的轨迹于
，
两点，
为上一点，且满足
，其中
，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）根据题意列出表达式
，又因为点
在双曲线
上，所以
，联立两个方程可得到参数值；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，又因为
，得
，代入椭圆方程得
，根据弦长公式得到
，求表达式的范围即可.
详解：(1)设点
，
分别为
，
，由已知，所以
，
，
，又因为点在双曲线上，所以，
则
，即
，解得
，
，所以
.
连接
，因为
，
，所以四边形
为平行四边形，
因为四边形的周长为
，所以
，
所以动点
的轨迹是以点、分别为左、右焦点，长轴长为
的椭圆(除去左右顶点)，可得动点的轨迹方程为：.
(2)由题意可知该直线存在斜率，设其方程为
且
.
由
得
，
∴
，得
，
设
，
，
，则
，
由，得，
代入椭圆方程得，由
得
，
∴
，
令
，则
，∴
.
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