Question

【题目】如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角形，且，分别是的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

试题分析：（1）连接，因为是的中点，由等腰三角形及等边三角形的性质可得，从而利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）先根据勾股定理证明与垂直，再以为轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可求得二面角的余弦值.

试题解析：(1)连接，因为，底面等边三角形，

又因为是的中点，

所以

又因为，

所以平面.

（2）因为，

由（1）可知，

而，所以

以为原点，以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

由题得平面的一个法向量为.

设平面的一个法向量为

所以，即

令得

所以，

所以

由题意知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.