Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点P在曲线xy=1（x＞0）上，点P在x轴上的射影为M．若点P在直线x-y=0的下方，当

OP2

OM-MP

取得最小值时，点P的坐标为______．

Answer 1

设点P（t，

1

t

），得OP²=t²+

1

t2

，而OM=t，MP=

1

t

∴

OP2

OM-MP

=

t2+ 1 t2

t- 1 t

=

(t - 1 t  )2+2

t- 1 t

=（t-

1

t

）+

2

t- 1 t

∵点P在直线x-y=0的下方，且t＞0
∴t＞1，得t-

1

t

是正数，所以（t-

1

t

）+

2

t- 1 t

≥2

2

当且仅当t-

1

t

=

2

t- 1 t

=

2

时，不等式的等号成立，解之得t=

6 - 2

2

，

1

t

=

6 + 2

2

∴点P的坐标为（

6 - 2

2

，

6 + 2

2

）
故答案为：（

6 - 2

2

，

6 + 2

2

）