Question

20．函数f（x）=m•a^x+$\frac{4}{m•{a}^{x}}$．（m＞0，a＞0，且a≠1）为偶函数．
（1）求m的值；
（2）用定义证明f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性的定义求出m的值即可；（2）根据函数的单调性的定义证明即可．

解答 解：（1）f（-x）=m•a^-x+$\frac{4}{m{•a}^{-x}}$=$\frac{m}{{a}^{x}}$+$\frac{4}{m}$•a^x=m•a^x+$\frac{4}{m•{a}^{x}}$，
∴m=$\frac{4}{m}$，解得：m=2；
（2）∵f（x）=2•a^x+$\frac{2}{{a}^{x}}$，
设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=2${a}^{{x}_{1}}$+$\frac{2}{{a}^{{x}_{1}}}$-2${a}^{{x}_{2}}$-$\frac{2}{{a}^{{x}_{2}}}$
=2（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$），
∵0＜x₁＜x₂，
∴${a}^{{x}_{1}}$＜${a}^{{x}_{2}}$，1-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）在（0，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，是一道基础题．