Question

4．在平面直角坐标系xOy中，设向量$\overrightarrow a=（1，2sinθ）$，$\overrightarrow b=（sin（θ+\frac{π}{3}），1）$，θ∈R．
（1）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，求tanθ的值；
（2）若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，且$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，求θ的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，可得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，化简即可得出．
（2）利用向量共线定理、三角函数的化简即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
∴$2sinθ+sin（{θ+\frac{π}{3}}）=0$，即$\frac{5}{2}sinθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ=0$．
∵cosθ≠0，∴$tanθ=-\frac{{\sqrt{3}}}{5}$． 
（2）由$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，得$2sinθsin（{θ+\frac{π}{3}}）=1$，
即$2{sin^2}θcos\frac{π}{3}+2sinθcosθsin\frac{π}{3}=1$，即$\frac{1}{2}（{1-cos2θ}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2θ=1$，
整理得，$sin（{2θ-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
又$θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，∴$2θ-\frac{π}{6}∈（{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
∴$2θ-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，即$θ=\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了向量共线定理的坐标运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角函数的化简求值，考查了计算能力，属于中档题．