Question

2．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2x}{x+1}$；
（2）f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}+\sqrt{{x}^{2}-1}$
（3）f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+2|-2}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．

解答 解：（1）由x+1≠0得x≠-1，即函数的定义域为{x|x≠-1}，定义域关于原点不对称，则f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2x}{x+1}$为非奇非偶函数；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}≤1}\\{{x}^{2}≥1}\end{array}\right.$，即x²=1，即x=±1，则函数的定义域为{1，-1}，
则f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=0，则f（x）既是奇函数也是偶函数．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{4-{x}^{2}≥0}\\{|x+2|-2≠0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}≤4}\\{|x+2|≠2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{x≠0且x≠-4}\end{array}\right.$，即-2≤x＜0或0＜x≤2，
则此时f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x+2-2}$=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$，
则f（-x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{-x}$=-$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$=-f（x），
则f（x）为奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数的定义域以及函数奇偶性的定义是解决本题的关键．