Question

17．已知x=$\frac{π}{3}$是函数f（x）=（b-$\sqrt{3}a$）sinx+（a-b）cosx（a≠0）的一个零点，则函数g（x）=asinx-bcosx的图象可能是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由题意知f（$\frac{π}{3}$）=（b-$\sqrt{3}a$）sin$\frac{π}{3}$+（a-b）cos$\frac{π}{3}$=0，从而解得a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$b，（b≠0），从而可得g（0）=-b，g（$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$b，从而确定答案．

解答 解：∵x=$\frac{π}{3}$是函数f（x）=（b-$\sqrt{3}a$）sinx+（a-b）cosx（a≠0）的一个零点，
∴f（$\frac{π}{3}$）=（b-$\sqrt{3}a$）sin$\frac{π}{3}$+（a-b）cos$\frac{π}{3}$=0，
即（b-$\sqrt{3}a$）$\frac{\sqrt{3}}{2}$+（a-b）$\frac{1}{2}$=0，
即a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$b，（b≠0），
故g（x）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$bsinx-bcosx，
故g（0）=-b，g（$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$b$\frac{1}{2}$-b$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$b，
故g（0）与g（$\frac{π}{6}$）同号，且|g（0）|＞|g（$\frac{π}{6}$）|；
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点的应用及函数的图象的应用，属于中档题．