题目内容

已知数列{an}满足8an+1=m+an2，n∈N*，a1=1，m为正数．
（1）若an+1＞an对n∈N*恒成立，求m的取值范围；
（2）是否存在m，使得对任意正整数n都有
94
＜an+1＜2007？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由已知，8（an+1-an）=（an+an-1）（an-an-1），an+1＞an对n∈N*恒成立的充要条件是a2-a1＞0．
（2）假设存在m，符合要求，an+1-an=
1
8
(m+
a
2
n
)-an=
1
8
(an-4)2+
m-16
8
≥
m-16
8
，递推出an≥a1+
m-16
8
(n-1)=1+
m-16
8
(n-1)，
考查出当m＞16时，an→+∞，故不存在．
解答：解：（1）∵m为正数，8an+1=m+an2①，a1=1，∴an＞0（n∈N*）
又8an=m+an-12②，①-②两式相减得8（an+1-an）=（an+an-1）（an-an-1），
∴an+1-an与an-an-1同号
∴an+1＞an对n∈N*恒成立的充要条件是a2-a1＞0
由a2-a1=
m+1
8
-1＞0，得m＞7
（2）证明：假设存在m，使得对任意正整数n都有
9
4
＜an+1＜2007．
则a2＞
9
4
，则m＞17．--------------------（9分）
另一方面，an+1-an=
1
8
(m+
a
2
n
)-an=
1
8
(an-4)2+
m-16
8
≥
m-16
8
，---------（11分）
∴a2-a1≥
m-16
8
，a3-a2≥
m-16
8
，…，an-an-1≥
m-16
8
，
∴an-a1≥
m-16
8
(n-1)，∴an≥a1+
m-16
8
(n-1)=1+
m-16
8
(n-1)
当m＞16时，由①知，an→+∞，不可能使an+1＜2007对任意正整数n恒成立
∴m≤16，这与m＞17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有
9
4
＜an+1＜2007
点评：本题考查不等式成立的条件、数列的极限，考查恒成立问题、数列极限的运算、分类讨论、分析解决问题能力．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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