Question

已知集合A={x|mx²-2x+3=0，m∈R}．
（1）若A是空集，求m的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求m的值；
（3）若A中含有两个元素，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，m≠0，mx²-2x+3=0为一元二次方程，利用△=4-12m＜0可求得m的取值范围；
（2）对m=0与m≠0分类讨论，可求得m的值；
（3）A中含有两个元素?方程mx²-2x+3=0有两解?

m≠0 △＞0

，从而可求得m的取值范围．

解答：解析：集合A是方程mx²-2x+3=0在实数范围内的解集．
（1）∵A是空集，
∴方程mx²-2x+3=0无解，显然m≠0，
∴mx²-2x+3=0为一元二次方程．
∴△=4-12m＜0，即m＞

1

3

；
（2）∵A中只有一个元素，
∴方程mx²-2x+3=0只有一解．
若m=0，方程为-2x+3=0，只有一个解x=

3

2

；
若m≠0，则△=0，即4-12m=0，m=

1

3

．
∴m=0或m=

1

3

；
（3）∵A中含有两个元素，
∴方程mx²-2x+3=0有两解，
∴满足

m≠0 △＞0

，即

m≠0 4-12m＞0

，
∴m＜

1

3

且m≠0．

点评：本题考查集合中元素个数，考查分类讨论思想与方程思想，考查运算能力，属于中档题．