Question

已知数列{a_n}，其中a1=1，an+1=

2an

1+2an

（n∈N^*）
（1）写出{a_n}的前4项
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．

Answer 1

（1）∵a₁=1，a_n+1=

2an

1+2an

，
∴a₂=

2a1

1+2a1

=

2

1+2

=

2

3

，
同理可求，a₃=

4

7

，a₄=

8

15

…（2分）
（2）由（1）猜想a_n=

2n-1

2n-1

…（5分）
证明：①当n=1时，a₁=

21-1

21-1

=

1

1

=1，猜想成立    …（7分）
②假设n=k（k＞1且k∈N^*）时a_k=

2k-1

2k-1

成立 …（8分）
那么当n=k+1时，a_k+1=

2ak

1+2ak

=

2• 2k-1 2k-1

1+2• 2k-1 2k-1

=

2•2k-1

2k-1+2•2k-1

=

2k

2•2k-1

=

2k-1+1

2k+1-1

，
即：n=k+1猜想成立                        …（12分）
综上所述：当n∈N^*时a_n=

2n-1

2n-1

成立．            …（13分）