题目内容

5．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$．
（1）当λ=1时，求证：直线PN⊥平面AMN；
（2）若平面PMN与平面AA1C1C所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

分析 （1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系．只要证明$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{AN}$=0，$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{AM}$=0，即可得出PN⊥AN，PN⊥AM，即可证明直线PN⊥平面AMN；
（2）设平面PMN的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），P（λ，0，1），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{NP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MP}=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}$=（3，2λ+1，2-2λ）．取平面的一个法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），利用平面PMN与平面AA1C1C所成的二面角为45°，可得$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解出即可．

解答 （1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系．N$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，P（1，0，1），M$（0，1，\frac{1}{2}）$．
$\overrightarrow{PN}$=$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-1）$，
∵$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{AN}$=$-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$+0=0，$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{AM}$=0+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$=0，
∴PN⊥AN，PN⊥AM，又AM∩AN=A，
∴直线PN⊥平面AMN；
（2）解：设平面PMN的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），P（λ，0，1），$\overrightarrow{MP}$=$（λ，-1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{NP}$=$（λ-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，1）$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{NP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MP}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{（λ-\frac{1}{2}）x-\frac{1}{2}y+z=0}\\{λx-y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=（3，2λ+1，2-2λ）．
取平面的一个法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），
∵平面PMN与平面AA1C1C所成的二面角为45°，
∴$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{9+（2λ+1）^{2}+4（1-λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得λ=$-\frac{1}{2}$或λ=1．
∴点PB1A1的延长线上，且|A1P|=$\frac{1}{2}$，或点P与点B1重合．

点评 本题考查了利用法向量的夹角求空间角、线面垂直的判定与性质定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

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