Question

给出下列四个命题：
①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；
②利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1＞0”发生的概率为

1

3

；
③已知{S_n}是等差数列{a_n}的前n项和，若S₇＞S₅，则S₉＞S₃；
④若函数y=f（x-

3

2

）为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点F（

3

2

，0）成中心对称．
⑤函数f（x）=cos³x+sin²x-cosx（x∈R）有最大值为2，有最小值为0．
其中所有正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①先证充分性；再证必要性；利用随机数概率的求法求出事件“3a-1＞0”发生的概率可以判断②的真假；利用等差数列的前n项和的性质对③进行判断，即可判断③的正误．利用奇函数图象的对称性及函数图象的平移判断④的正误；将函数y=cos³x+sin²x-cosx转化为y=cos³x-cos²x-cosx+1，利用基本不等式，求得最大值．判断正误．

解答： 解：对于①，A＞B，则边a＞边b，
根据正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

，则sinA＞sinB；
由sinA＞sinB，根据正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

，则边a＞边b，则有A＞B．
∴△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件．命题①正确；
对于②，由3a-1＞0，得a＞

1

3

，
∵在0到1上服从均匀分布，
∴事件“3a-1＞0”发生的概率为

1- 1 3

1

=

2

3

．命题②错误；
对于③，∵S₇＞S₅，
∴S₇-S₅=a₇+a₆＞0，
又S₉-S₃=a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=3（a₆+a₇）＞0，
∴S₉＞S₃．命题③正确；
对于④，函数y=f（x-

3

2

）为R上的奇函数，则y=f（x-

3

2

）的图象关于（0，0）中心对称，
则函数y=f（x）的图象一定关于点F（-

3

2

，0）成中心对称．命题④错误；
对于⑤，⑤，：∵y=cos³x+sin²x-cosx
=cos³x-cos²x-cosx+1
=cos²x（cosx-1）+（1-cosx）
=（1-cosx）（1-cos²x）
=（1-cosx）（1-cosx）（1+cosx）
=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx），
∵1-cosx≥0，2+2cosx≥0，
∴（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤[

(1-cosx)+(1-cosx)+(2+2cosx)

3

]3=

64

27

，
当且仅当1-cosx=2+2cosx，即cosx=-

1

3

时取“=”．
∴y=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤

32

27

．故⑤不正确．
∴所有正确命题的序号为①③．
故答案为：①③．

点评：本题考查三角函数的最值，函数的周期性，充要条件的应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．