Question

设函数
(Ⅰ)若，是否存在k和m，使得 ，，若存在，求出k和m的值，若不存在，说明理由
(Ⅱ)设 有两个零点 ，且 成等差数列， 是 G (x)的导函数，求证：

Answer 1

(Ⅰ) 存在k=2，m=-1；(Ⅱ)见解析

解析试题分析：(Ⅰ)先求，然后根据条件很容易求出a，b，此时会发现和图象有一个公共点（1，1），根据问题：是否存在k和m，使得，，也就是找到一条直线要同时满足这两个不等式．根据存在的公共点可以想到是否是过这一点的直线，故先求出还在（1，1）的切线，然后去验证它是否同时满足，即可．(Ⅱ)先求出，根据条件x₁，x₂是它的两个零点，所以x₁²?alnx₁?bx₁+2＝0且x₂²?alnx₂?bx₂+2＝0．根据所要证的结论：，所以需要求，利用x₁+x₂=2x₀，将用x₁，x₂表示出来，然后判断它是否大于0即可．
试题解析：(Ⅰ)=，=，由得：a+b＝2， b＝1，解得，解得a=b=1．∴=．
因与有一个公共点（1，1），易求得函数=在点（1，1）的切线方程为．
下面验证，都成立即可．
设h（x）=lnx+x-(2x-1)=lnx-x+1，所以=＝．
x∈（0，1）时，＞0；x∈（1，+∞）时，＜0，∴x=1时，取最大值=0；
∴lnx+x≤2x-1恒成立，即≤2．
由于，得，∴≥恒成立．
故存在这样的k，m，且k=2，m=-1．                             6分
(Ⅱ)因为==，有两个零点x₁，x₂，
则x₁²?alnx₁?bx₁+2＝0且x₂²?alnx₂?bx₂+2＝0，
两式相减得，x₁²? x₂²-a(lnx₁? lnx₂)-b(x₁?x₂)＝0，
所以=，又因为x₁+x₂=2x₀，
因为=，所以=