Question

已知，函数（为自然对数的底数）.
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若的最小值为，求的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）的单调减区间为单调增区间为；（Ⅱ）.

解析试题分析：（Ⅰ）由于当a=1时，，则，分别由f′（x）＞0，f′（x）＜0，进而求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由题意可知：恒成立，且等号可取．令转化为方程求解．
试题解析：（Ⅰ）时, ,
当时,
当时,
所以的单调减区间为单调增区间为.
（Ⅱ）由题意可知:恒成立,且等号可取.
即恒成立,且等号可取.
令
故
由得到,设,
当时,;当时,.
在上递减,上递增.所以
当时, ,即,
在上,,递减;
在上,,递增.
所以
设,
,在上递减,所以
故方程有唯一解,即.
综上所述,当时,仅有满足的最小值为,
故的最小值为