Question

是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9对任意自然数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论；若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:由f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想m=36.

    下面用数学归纳法证明:

    (1)当n=1时,显然成立.

    (2)假设n=k时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除；当n=k+1时,［2(k+1)+7］·3^k+1+9=3［(2k+7)·3^k+9］+18(3^k-1-1),

    由于3^k-1-1是2的倍数,故18(3^k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.

    由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9能被36整除,m的最大值为36.