Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=kS_n+2，且a₁=2，a₂=1．
（1）求k的值；
（2）求S_n；
（3）是否存在正整数m，n，使

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由S₂=kS₁+2，得a₁+a₂=ka₁+2，代入数值可求k；
（2）由 （1）知 Sn+1=

1

2

Sn+2①，当n≥2时，Sn=

1

2

Sn-1+2②，两式相减可得递推式，由递推式可判断该数列为等比数列，从而可求S_n；
（3）表示出不等式，可化为2＜2ⁿ（4-m）＜6，假设存在正整数m，n使得上面的不等式成立，则只能是2ⁿ（4-m）=4，从而可得m，n的方程组，解出即可作出判断；

解答：解：（1）∵S₂=kS₁+2，∴a₁+a₂=ka₁+2，
又a₁=2，a₂=1，
∴2+1=2k+2，解得k=

1

2

．
（2）由 （1）知 Sn+1=

1

2

Sn+2①，当n≥2时，Sn=

1

2

Sn-1+2②，
①-②，得an+1=

1

2

an(n≥2)，
又a2=

1

2

a1，易见an≠0  (n∈N*)，∴

an+1

an

=

1

2

  (n∈N*)，
于是{a_n}是等比数列，公比为

1

2

，首项为2，
所以Sn=

2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4（1-

1

2n

）；
（3）不等式

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

，即

4(1- 1 2n )-m

4(1- 1 2n+1 )-m

＜

1

2

，整理可得

4-m- 6 2n

4-m- 2 2n

＜0．
可得

2

2n

＜4-m＜

6

2n

即2＜2ⁿ（4-m）＜6，
假设存在正整数m，n使得上面的不等式成立，
由于2ⁿ为偶数，4-m为整数，则只能是2ⁿ（4-m）=4，
∴

2n=2 4-m=2

或

2n=4 4-m=1

，
因此，存在正整数m=2， n=1； 或 m=3， n=2， 使 

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

．

点评：本题考查数列求和、数列与不等式的综合，考查学生解决问题的能力，本题运算量较大．