Question

已知数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列,对每一个k∈N^*,在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个2,得到新数列{b_n}.设S_n、T_n分别是数列{b_n}和{a_n}的前n项和.

(1)试问a₁₀是数列{b_n}的第几项?

(2)是否存在正整数m,使S_m=2 008?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

(3)若a_m是数列{b_n}的第f(m)项,试比较S_f(m)与2T_m的大小,并说明理由.

Answer 1

解:(1)∵在数列{b_n}中,对每一个k∈N,在a_k与a_k+1之间有2^k-1个2,

∴a₁₀在数列{b_n}中的项数为10+1+2+4+…+2⁸==521,

即a₁₀是数列{b_n}中第521项.                                         

(2)a_n=1+(n-1)·2=2n-1,

在数列{b_n}中,a_m及其前面所有项的和为［1+3+5+…+(2m-1)］+(2+4+…+2^m-1)

=m²+=2^m+m²-2,                                         

∵2¹⁰+10-2=1 122＜2 008＜2¹¹+11-2,且2 008-1 122=886=443×2,

∴存在m=521+443=964,使得S_m=2 008.                                

(3)方法一:由(2)知S_f(m)=2^m+m²-2,

又T_m=1+3+5+…+(2m-1)=m²，

所以S_f(m)-2T_m=(2^m+m²-2)-2m²=2^m-(m²+2),                               

要比较S_f(m)与2T_m的大小,只需比较2^m与m²+2的大小即可.

当m=1时,2^m=2,m²+2=3,故2^m＜m²+2;

当m=2时,2^m=4,m²+2=6,故2^m＜m²+2;

当m=3时,2^m=8,m²+2=11,故2^m＜m²+2;

当m=4时,2^m=16,m²+2=18,故2^m＜m²+2;                                

当m≥5时,2^m=(1+1)^m=1+C¹_m+C²_m+…+++1

≥1+m+++m+1=m²+m+2＞m²+2.

故当m=1,2,3,4时，S_f(m)＜2T_m;

当m≥5且m∈N时,S_f(m)＞2T_m.                                       

方法二:以上同方法一,

当m≥5时,∵m-2≥3,

∴2^m=(1+1)^m=1++++…+1

≥1+m+++1

≥1+m+++1=m²+2.

故当m=1,2,3,4时,S_f(m)＜2T_m;

当m≥5且m∈N时,S_f(m)＞2T_m.                                     

(另法提示:令c_m=2^m-(m²+2),d_m=c_m+1-c_m=2^m-(2m+1),由d_m+1-d_m=2^m-2≥0，可知d_m+1≥d_m，又d₃＞0,故对任意的m≥3,d_m＞0,从而数列{c_m}从第3项起往后是递增的,又c₅=5＞0,故当m≥5时,c_m＞0,即S_f(m)＞2T_m).