Question

【题目】已知椭圆：的离心率为．

（1）求椭圆的方程．

（2）设直线过点且与椭圆交于，两点．过点作直线的垂线，垂足为．证明直线过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由离心率及可求得，得椭圆方程；

（2）当直线的斜率存在时，设，，．直线：，与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，求出直线方程，再求出与交点的横坐标，代入可得其为定值，得定点，直线的斜率不存在时，可直接求出直线方程，也过该定点，从而证得结论成立．

（1）解：由题意可得，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）证明：①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

不妨设，，，

此时，直线的方程为，所以直线过点．

②当直线的斜率存在时，设，，．直线：．

由得，

所以，．（*）

直线：，令，得，

所以．（**）

将（*）代入（**）可得．

所以直线过点．

综上所述，直线过定点．