Question

【题目】如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：四边形是平行四边形；

（Ⅲ）若，试判断二面角的大小能否为？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不能为.

【解析】

（1）由平面平面，可得平面，从而证明；

（2）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（3）作交于点，延长交于点，连接，根据三垂线定理，确定二面角的平面角，若，，由大角对大边知，两者矛盾，故二面角的大小不能为.

（1）由平面平面，平面平面，

且，所以平面，

又平面，所以；

（2）依题意都在平面上，

因此平面，平面，

又平面，平面，

平面与平面平行，即两个平面没有交点，

则与不相交，又与共面，

所以，同理可证，

所以四边形是平行四边形；

（3）不能.如图，作交于点，延长交于点，连接，

由，，，

所以平面，则平面，又，

根据三垂线定理，得到，所以是二面角的平面角，

若，则是等腰直角三角形，，

又，

所以中，由大角对大边知，

所以，这与上面相矛盾，

所以二面角的大小不能为.