题目内容

11．已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为（　　）
A．$\sqrt{2}-1$B．$\sqrt{3}-1$C．$2-\sqrt{2}$D．$3-\sqrt{5}$

分析 作图辅助，设正方形ABCD的边长为2x，从而可得2c=|AB|=2x，2a=|AC|+|BC|=2$\sqrt{2}$x+2x，从而解得．

解答 解：设正方形ABCD的边长为2x，
则由题意知，2c=|AB|=2x，
故c=x，
2a=|AC|+|BC|=2$\sqrt{2}$x+2x，
故a=（$\sqrt{2}$+1）x，
故e=$\frac{c}{a}$=$\frac{x}{（\sqrt{2}+1）x}$=$\sqrt{2}$-1；
故选：A．

点评 本题考查了学生的作图能力及圆锥曲线的定义的应用，同时考查了数形结合的思想应用．

练习册系列答案
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20．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（cosα，sinα），Q（$\frac{3}{2}$，0），其中0＜α＜$\frac{π}{2}$．
（1）若$\overrightarrow{PQ}$$⊥\overrightarrow{PO}$，求cosα的值；
（2）若|$\overrightarrow{PQ}$|=|$\overrightarrow{PO}$|，求sin（2α-$\frac{π}{4}$）的值．
2．设点P、Q分别在直线3x-y+5=0和3x-y-13=0上运动，线段PQ中点为M（x0，y0），且x0+y0＞4，则$\frac{y_0}{x_0}$的取值范围为[1，3）．
19．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在$x=\frac{π}{6}$处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数$g（x）=\frac{{6{{cos}^4}x-{{sin}^2}x-1}}{{{{[{f（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）}]}^2}-2}}$的值域．
6．F1，F2分别为椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}$=1的左右焦点，P为椭圆上一动点，F2关于直线PF1的对称点为M，F1关于直线PF2的对称点为N，则当|MN|的最大值为（　　）
A．2B．3C．4D．$2\sqrt{2}$
16．随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．

（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量$\overrightarrow{MN}$与$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$共面，写出证明过程）；
（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．
3．已知曲线$y=\frac{x^2}{4}-4lnx$的一条切线与直线x+y+1=0垂直，则切点的横坐标为（　　）
A．4B．3C．2D．1
20．已知两条异面直线a，b所成的角为50°，则过空间任意一点P与a，b所成的角均为65°的直线共有（　　）条．
A．1B．2C．3D．4
1．已知数列{an}的通项公式an=2015sin$\frac{nπ}{2}$，则a1+a2+…+a2015=（　　）
A．-2015B．2015C．0D．2014

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