题目内容

已知向量 $数学公式$ =（2，1）， $数学公式$ =（-1，2），且 $数学公式$ =t $数学公式$ + $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ -k $数学公式$ （t、k∈R），则 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ 的充要条件是

A.
t+k=1
B.
t-k=1
C.
t•k=1
D.
t-k=0

D
分析：根据向量 $\text{[math]}$ 的坐标，算出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0且| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，从计算 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =t $\text{[math]}$ ²-k $\text{[math]}$ ²=5t-5k=0，从而得到 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 的充要条件是t-k=0．
解答：∵ $\text{[math]}$ =（2，1）， $\text{[math]}$ =（-1，2），∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2×（-1）+1×2=0，| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ =t $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -k $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0?（t $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ -k $\text{[math]}$ ）=0
?t $\text{[math]}$ ²-kt $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -k $\text{[math]}$ ²=0?5t-5k=0，即t-k=0．
即 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 的充要条件是t-k=0
故选：D
点评：本题以充要条件的判断为载体，求两个向量垂直的充要条件，着重考查了充分、必要条件的判断和向量数量积的坐标运算公式等知识，属于基础题．