Question

已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+1）=-f（x），当-1≤x＜1时，f（x）=x³．
（1）若函数g（x）=f（x）-loga|x|恰好6个零点，则a取值范围是多少？
（2）若函数g（x）=f（x）-loga|x|至少6个零点，则a取值范围是多少？

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，作出函数y=f（x）的图象，转化函数g（x）=f（x）-log_a|x|的零点为图象的交点，从而求解．
（2）结合（1）的讨论直接写出答案即可．

解答： 解：（1）∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴作函数y=f（x）的图象如下图，

若函数g（x）=f（x）-log_a|x|恰好6个零点，
则

a＞1 loga5＜1 loga7≥1

或

0＜a＜1 loga5＞-1 loga7≤-1

，
解得，5＜a≤7或

1

7

≤a＜

1

5

；
（2）若函数g（x）=f（x）-log_a|x|至少有6个零点，
则由以上讨论可知，a＞5或0＜a＜

1

5

．

点评：本题考查了学生的作图能力及识图能力，属于难题．