Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，E是PB上任一点．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）当E是PB的中点时，求证：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）若△AEC面积的最小值是6，求PB与平面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 证明PD⊥AC，BD⊥AC，得到AC⊥平面PDB，由DE?平面PDB，可得AC⊥DE．
（Ⅱ） 利用EO是三角形BPD的中位线得到EO∥PD，从而证得 PD∥平面AEC．
（Ⅲ）∴∠PBD就是PB与平面ABCD所成的角，当EO最小时，EO⊥PB，据△AEC面积的最小值是6，求得EO的最小值为2，由sin∠PBD=

EO

OB

=

1

2

，求出锐角∠PBD 的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC．
在菱形ABCD中，BD⊥AC，又∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB．
又∵DE?平面PDB，∴AC⊥DE．
（Ⅱ）当E为PB中点时，∵O为BD中点，∴EO∥PD．
∵EO?平面AEC，PD?平面AEC，∴PD∥平面AEC．
（Ⅲ）∵PD⊥平面ABCD，∴∠PBD就是PB与平面ABCD所成的角．
由（Ⅰ）的证明可知，AC⊥平面PDB，∴AC⊥EO．
∵AC=6，∴S△AEC=

1

2

AC•EO=3EO，因其最小值为6，∴EO的最小值为2，
此时EO⊥PB，OB=

1

2

BD=4，∴sin∠PBD=

EO

OB

=

1

2

，
∴PB与平面ABCD成30°的角．

点评：本题考查线线平行、线面垂直的判定，求线面角的大小，判断EO⊥PB时，EO 最小值为2，是解题的难点．